$\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{3 x+1}{3 x+4}\right)^{\frac{2 x^{2}+1}{x-3}}$ Como siempre, hagamos primero un análisis de la situación: Adentro del paréntesis tenemos un "infinito sobre infinito", que viendo los polinomios nos damos cuenta que tiende a $1$... y el exponente tiende a $-\infty$. Así que tenemos una indeterminación de tipo "1 elevado a infinito"... y esas las sabemos resolver siguiendo nuestra "receta" =) Vamos con eso, resolvamos esa indeterminación... Sumamos y restamos $1$ adentro del paréntesis... $ \lim_{x \rightarrow -\infty} (1 + \frac{3x+1}{3x+4} - 1)^{\frac{2 x^{2}+1}{x-3}} $ Hacemos la resta de fracciones... $ \lim_{x \rightarrow -\infty} (1 + \frac{3x+1 - (3x+4)}{3x+4})^{\frac{2 x^{2}+1}{x-3}} $ $ \lim_{x \rightarrow -\infty} (1 + \frac{-3}{3x+4})^{\frac{2 x^{2}+1}{x-3}} $ Perfecto, ya tenemos adentro del paréntesis algo de la forma "1 + algo que tiende a cero", ahora agregamos el "algo" dado vuelta en el exponente... $ \lim_{x \rightarrow -\infty} \left[(1 + \frac{-3}{3x+4})^{\frac{3x+4}{-3}}\right]^{\frac{-3}{3x+4} \cdot \frac{2 x^{2}+1}{x-3}} $ Hermoso, ahora ya sabemos que lo del corchete tiende a \(e\). Nos fijamos a dónde tiende el exponente... $ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{-3}{3x+4} \cdot \frac{2 x^{2}+1}{x-3}$

Hacemos distributiva en el numerador y en el denominador, y nos queda un límite que sabemos resolver:

$ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{-6x^2 - 3}{3x^2 - 5x - 12} = \frac{-6}{3} = -2 $

Por lo tanto, el resultado del límite es... $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{3 x+1}{3 x+4}\right)^{\frac{2 x^{2}+1}{x-3}} = e^{-2}$